Conjugaison et opérations

Proposition
Soit  `z` et  `z'` deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes :

1.  \(\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\)

2.  \(\overline{-z}=-\overline{z}\)

3.  \(\overline{z \times z'}=\overline{z} \times \overline{z'}\)

4.  Pour tout `n \in \mathbb[N}` , \(\overline{z^n}=(\overline{z})^n\)

5.  Si \(z \neq 0\) , alors \(\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}\)

6.  Si \(z \neq 0\) , alors \(\overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)}=\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}\) .

Démonstration

On note  `z=x+iy` et  \(z'=x'+iy\) avec `x,x',y,y'`  des réels .

1.  On a :
\(\begin{align*} \overline{z+z'} =\overline{x+iy+x'+iy'} & =\overline{(x+x')+i(y+y')} \\ & =(x+x')-i(y+y') \\ & =(x-iy)+(x'-iy') \\ & =\overline{z}+\overline{z'}. \end{align*}\)

2.  On a :  \(\begin{align*} \overline{-z} =\overline{-(x+iy)} & =\overline{-x-iy} =-x+iy =-(x-iy) =-\overline{z}. \end{align*}\)

3.  D'une part :
\(\begin{align*} \overline{z \times z'} =\overline{(x+iy)(x'+iy')} & =\overline{(xx'-yy')+i(xy'+x'y)} =(xx'-yy')-i(xy'+x'y). \end{align*}\)

D'autre part :
\(\begin{align*} \overline{z} \times \overline{z'} =\overline{(x+iy)} \times \overline{(x'+iy')} =(x-iy)(x'-iy') & =xx'-ixy'-ix'y+i^2yy' \\ & =(xx'-yy')-i(xy'+x'y). \end{align*}\)
On a donc : \(\overline{z \times z'}=\overline{z} \times \overline{z'}\) .

4.  Montrons par récurrence que, pour tout `n \in \mathbb[N}` , `\overline{z^n}=(\overline{z})^n` .

Initialisation
Par convention, pour tout \(z \in \mathbb{C}, ~z^0=1\) , donc la propriété est vraie au rang `p=0` . Elle l'est aussi au rang `p=1` .

Hérédité
Soit   `n \in \mathbb[N}` tel que \(\overline{z^n}=(\overline{z})^n\) . On a alors :
\(\begin{align*} \overline{z^{n+1}} =\overline{z^n \times z} & =\overline{z^n} \times \overline{z} \ \ \text{ d'après la propriété~3} \\ & =(\overline{z})^n \times \overline{z} \ \ \text{ par hypothèse de récurrence} \\ & =(\overline{z})^{n+1} \end{align*}\)

Conclusion
Par récurrence, pour tout `n \in \mathbb[N}` ,  `\overline{z^n}=(\overline{z})^n` .

5. Supposons que \(z \neq 0\) . On remarque que \(z \times \dfrac{1}{z}=1\) , donc en passant au conjugué :
\(\begin{align*} \overline{z \times \frac{1}{z}}=\overline{1}=1. \end{align*}\)
D'après la 3 ^e propriété, on en déduit que : \(\overline{z} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=1\) , et donc que : \(\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}\) .

6. Supposons que \(z \neq 0\) . On remarque que \(\dfrac{z'}{z}=z' \times \dfrac{1}{z}\) , donc en passant au conjugué :
\(\begin{align*} \overline{\left(\frac{z'}{z}\right)}=\overline{z' \times \frac{1}{z}}. \end{align*}\)
D'après la 3 ^e  propriété, on en déduit que : \(\overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)}=\overline{z'} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}\) .
D'après la 4 ^e  propriété, on en déduit que :  \(\overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)}=\overline{z'} \times \dfrac{1}{\overline{z}}\) et donc que : \(\overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)}=\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}\) .